|暮鼓晨鐘|
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晚上收到一封信,提到印度人如何利用心算來計算11x11到19x19的乘法:


請試著用心算算出下面的答案:
13   X 12   =
(
被乘數) (乘數 )
印度人是這樣算的。

第一步:
先把被乘數(13)跟乘數的個位數 (2)加起來
13 + 2 = 15

第二步:
再把被乘數的個位數(3)乘以乘數的個位數 (2)
2 X 3 = 6

第三步:
然後把第一步的答案乘以10(→也就是說後面加個 0 )

之後再加上第二步的答案就行了
15 X 10 + 6 = 156
就這樣,用心算就可以很快地算出11X11 19X19了喔。這真是太神奇了!


其實,也沒什麼好破解的,只是我習慣把背後的原理搞清楚,否則再神奇的公式或是技巧對我來說,用起來都會不安心的。

首先,我舉另外一個例子:15x16

按照上面的邏輯:

15x16=(15+6)x10+5x6=210+30=240

(其實,按照我的習慣,我會這樣算:15x16=15x4x4=60x4=240,只要遇到尾數是5,我都會先湊成10的倍數再去計算)

答案是無庸置疑的,但過程為什麼可以這樣簡化呢?

首先我們分別把15和16拆成十位數和個位數,原來的式子變成:

(10+5)x(10+6)

=10x10+10x6+10x5+5x6 

(到這邊大家可以看到,把都有x10的部分一起看,就會發現,總共有10,6,5這三個數字)

=10x(10+6+5) + 5x6

=10x(15+6) + 5x6                  

所以式子到這邊,便等於上面提到的方法。

重點就是把遇到x10的部份都抓出來,前後都有10,所以會出現一個10x10,然後前面的個位數字5會乘上後面的10,而後面的個位數字6,也會乘上前面的10,這樣就總共有10+6+5=21,會必須要乘以10。最後再處理個位數字的乘積,然後兩者加總。

再來一個例子:

18x19=(18+9)x10+8x9=(19+8)x10+8x9=270+72=342

這邊一樣提供我習慣的算法:遇到尾數9,我習慣「多算後再減回來」:

18x19=18x(20-1)=360-18=342

最後再來一個例子,比較一下印度式的算法和我的算法:

19x19=(19+9)x10+9x9=280+81=361

所需心算處理的計算總共有兩次加法、兩次乘法。以上是印度式算法。

19x19=(20-1)x19=380-19=361          

我習慣的算法也挺快的。那個好、那個快,請各位自己斟酌使用。這邊還可以利用平方差公式:(a-b)2=a2+b2-2ab

19x19=(20-1)2=202+12-2x20x1=401-40=361

這個方法速度上也還可以!


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